Quá trình Gram-Schmidt (có cải tiến) được thực hiện trên ba vectơ độc lập tuyến tính không trực giao của một cơ sở cho không gian R3. Nhấp vào ảnh để xem chi tiết.

Ta định nghĩa toán tử chiếu vectơ bởi

p r o j u ( v ) = ⟨ u , v ⟩ ⟨ u , u ⟩ u , {\displaystyle \mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }{\mathbf {u} },}

trong đó ⟨ u , v ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle } ký hiệu tích trong của hai vectơ u và v. Toán tử chiếu trực giao vectơ v vào đường thẳng span bởi vectơ u. Nếu u = 0, ta định nghĩa p r o j 0 ( v ) := 0 {\displaystyle \mathrm {proj} _{0}\,(\mathbf {v} ):=0} , tức là ánh xạ chiếu p r o j 0 {\displaystyle \mathrm {proj} _{0}} là ánh xạ không, nó biến mọi vectơ thành vectơ không.

Quá trình Gram–Schmidt sau đó được tiến hành như sau:

u 1 = v 1 , e 1 = u 1 ‖ u 1 ‖ u 2 = v 2 − p r o j u 1 ( v 2 ) , e 2 = u 2 ‖ u 2 ‖ u 3 = v 3 − p r o j u 1 ( v 3 ) − p r o j u 2 ( v 3 ) , e 3 = u 3 ‖ u 3 ‖ u 4 = v 4 − p r o j u 1 ( v 4 ) − p r o j u 2 ( v 4 ) − p r o j u 3 ( v 4 ) , e 4 = u 4 ‖ u 4 ‖     ⋮     ⋮ u k = v k − ∑ j = 1 k − 1 p r o j u j ( v k ) , e k = u k ‖ u k ‖ . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2}),&\mathbf {e} _{2}&={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3}),&\mathbf {e} _{3}&={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{3}}\,(\mathbf {v} _{4}),&\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,(\mathbf {v} _{k}),&\mathbf {e} _{k}&={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}.\end{aligned}}}

Dãy u1,..., uk là dãy vectơ trực giao cần tìm, và các vectơ được chuẩn hóa e1,..., ek tạo thành một tập hợp trực chuẩn. Việc tính toán dãy u1,..., uk được gọi là trực giao hóa Gram–Schmidt, còn việc tính toán dãy e1,..., ek được gọi là trực chuẩn hóa Gram–Schmidt bởi vì các vectơ đã được chuẩn hóa.

Để kiểm tra xem các công thức trên liệu có cho một dãy trực giao, đầu tiên ta tính ⟨ u 1 , u 2 ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle } bằng cách thế vào công thức ở trên cho u2: ta được 0. Sau đó sử dụng điều này để tính ⟨ u 1 , u 3 ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle } bằng cách lại thế vào công thức ở trên cho u3: ta tiếp tục được 0. Chứng minh tổng quát sau đó được tiếp tục nhờ phép quy nạp toán học.

Nói một cách hình học, phương pháp này được tiếp tục như sau: để tính ui nó chiếu trực giao vectơ vi vào không gian con U sinh bởi u1,..., ui−1, mà đó cũng là không gian con sinh bởi v1,..., vi−1. Vectơ ui sau đó được định nghĩa là hiệu giữa vi và hình chiếu này và đảm bảo là trực giao với tất cả các vectơ trong không gian con U.

Quá trình Gram–Schmidt cũng áp dụng cho một dãy độc lập tuyến tính và vô hạn đếm được {vi}i. Kết quả là một dãy trực giao (hay trực chuẩn) {ui}i sao cho với một số tự nhiên n: span đại số của v1,..., vn cũng chính là span của u1,..., un.

Nếu quá trình Gram–Schmidt được áp dụng cho một dãy phụ thuộc tuyến tính, nó sẽ cho ra vectơ 0 ở bước thứ i, giả sử vi là một tổ hợp tuyến tính của v1,..., vi−1. Nếu cần phải có một hệ cơ sở trực chuẩn thì thuật toán nên tìm ra các vectơ không trong các kết quả và loại bỏ chúng vì không có một bội nào của vectơ không mà có độ dài bằng 1. Số vectơ đầu ra của thuật toán sẽ bằng số chiều của không gian được span bởi các vectơ đầu vào.